史学界公认宋朝灭亡是德祐二年（1276年）2月4日，蒙元军攻占南宋行在临安（今杭州），俘5岁的南宋皇帝恭宗赵隰。此后，主战派大臣陆秀夫、文天祥和张世杰等人连续拥立了两个幼小的皇帝（端宗、幼主），蒙元对小皇帝穷追不舍，宋廷不断南逃，到了年底只能逃到船上建立海上行朝，直至1279年3月19日崖山之战失败，随着幼主随陆秀夫及赵宋皇族八百余人集体跳海自尽，从此再无抵抗势力存在。

如果题主指的宋朝灭亡以临安投降为准，那么当时尚有苏北、福建、江西、两广、四川的大片地区仍在抵抗。

如果题主指的是崖山之战为准，那么就没有任何一个地方了（有种说法是四川凌霄城1288年才被元军攻破，但没有找到资料）。即使前面几位回答者所说的钓鱼城，也是在崖山之战前——1279年元月因为粮尽援绝就投降了。

既然题主提到钓鱼城还在坚守，那么应该是以临安投降为准。当时大多数地区闻风而降，坚守较久的除了钓鱼城之外，还有下列几个：

元灭南宋图，可见长江以南抵抗甚少，只有川东和江西比较集中

一、重庆地区临安投降之时，元军正以重兵围攻重庆，在长江、嘉陵江中架起浮梁，阻绝外援，企图将其困死。镇守钓鱼城的四川制置副使、重庆知府张珏为解围，于1276年六月派部将赵安、王世昌等收复泸州，威胁元军侧后。元军被迫逐渐从重庆撤退，转而围攻泸州。

张珏铜像

同年十二月，赵定应迎接张珏进入重庆任四川制置使，派部将张万、程聪领兵收复涪州（今重庆涪陵），重庆元兵全部退走。张珏调史训忠、赵安等援救泸州。又派张万到夔州，联合忠、涪州的军队攻克石门及巴巫寨，获取元军将士一百多人。解大宁（今重庆巫溪）围，攻破十八寨。控入川的门户，川东形势一度好转。

（一）泸州之战

元军很快卷土重来。1277年六月攻破涪州，守将程聪被俘，梁山军袁世安投降。十一月，泸州粮食尽净，人们互相吃人，而张珏自重庆遣史忠训、赵安所率援军遭拜延军的阻击，未能抵泸州，元军乘机发起总攻。

泸州神臂城遗址

步鲁合答造云梯，登城急攻，先破宝子寨；刘思敬破盘山寨，擒守将任庆；刘垓、拜延克珍珠堡。泸州安抚王世昌亲率军援珍珠堡及盘山寨，均被击败，王世昌及部将刘雄被俘。元桥船水手军总管石抹不老督军攻神臂门，蚁附而登，一度冲上城楼，又被宋军击溃。

刘思敬率部趁宋军激战一天疲惫之际，进行夜袭，破东门而入，进行巷战；管军万户秃满答儿及札剌不花率军夜夺水城而进，黎明，先登城入泸州。天亮后，诸军加紧攻神臂门。万户也罕的斤及石抹不老率军先登拔之。宋军将士英勇拼杀，终因寡不敌众，兵败城破。

（二）天生城之战

1275年秋，夔东路征行元帥杨文安统率元军进围万州天生城。天生城因山势雄奇，平地隆起，四面悬岩，绝壁凌空，峭立如堵，自然成城而得名。其地势险要，易守难攻，一夫当关，万夫难开。四方悬崖峭壁，仅一线蜿蜒陡直，曲折窄小的石路可通寨门。 南宋守将上官夔凭借天生城之险峻战守甚力，万州固守不下，杨文安乃解围而去。

1276年秋七月，杨文安又统率元军进攻万州。战前派遣官员徐政给万州守将上官夔送去劝降书，上官夔至死不从。于是元军将天生城层层包围，八月，“一鼓而拔其外城”。夔州守将张起岩率舟師前来援救，又被元军将领彭福寿部打败，“尽杀其舟師，俘其将宋明”。

天生城遗址

外援断绝，万州将士士气锐减，杨文安再次招降，上官夔始終不屈。杨文安命侄儿开州、达州安抚使监军杨应之挑选精兵，深夜架云梯自城南攻破城池，鱼贯而上，上官夔率宋军与元军进行激烈巷战，终因寡不敌众英勇战死。

（三）皇华城之战

1276年十月，元军金吾上将军、开达万忠梁山等处招讨使杨文安和宋降将、原达州知州鲜汝忠合兵攻破万州天生城后，以降兵为前锋，逆长江而上，直取咸淳府（重庆忠县）。府城皇华城位于江心小岛上，军民固守城池，打退了元军的多次进攻。两个月后，长江水位下降，流速减缓，杨文安乘机猛攻，激战数日后，宋军退守内城，元军占领了城外的滩头，皇华城被元军四面围困。

皇华城遗址

腊月下旬，元军再次发起进攻，杨文安向东、北门佯攻，鲜汝忠趁夜偷袭，用云梯登上城墙，杀死守门士兵，打开了城门，元军蜂拥而入。知府马堃在巷战中伤重被俘，杨文安劝其投降，马堃拒绝被害。

（四）重庆之战

重庆周边据点相继失守后，元兵会军重庆，驻扎佛图关，以一军驻扎南城，一军驻扎朱村坪，一军驻扎长江上。元军派泸州降将李从招降，张珏没有顺从。1278年春，张珏派总管李义率领军队进攻广阳坝以解围，战败而全军覆灭。二月，元兵破绍庆府（今重庆彭水），守将鲜龙被俘，湖北提刑赵立与制司幕官赵酉泰自尽殉国。张珏率兵冲出薰风门，与元大将也速儿战于扶桑坝（今重庆东水门附近），元军诸将从张珏的后面联合袭击，张珏军队大败，解围再无可能。

重庆古城图，此为清代重庆城，但与宋代重庆城大致范围相似

此时重庆城中粮食已尽，张珏部将赵安劝说张珏投降，张珏不同意。赵安就与帐下韩忠显夜间打开镇西门投降。张珏率兵巷战，力量不支，于是用小船载着妻子儿女向东逃往涪州，中途用斧头砍船打算自沉，船夫夺掉斧头丢入长江中，张珏跳起来想投水被家人挽持住不得死。

第二天，万户铁木儿追到涪州，张珏被俘。重庆城破后，张万仍在固守夔州。元廷命达海由巫峡进兵取夔州，西川行院不花遣佥院刘恩，挟夔州守将亲属前往招降，元将杨文安又命王师能领东川舟师赶至，张万与张起岩意志不坚，遂以夔州城降，整个重庆地区各城再也没有抗敌之心，纷纷投降。

1280年二月，在押往元大都（今北京）途中经过安西（今陕西西安城东北）赵老庵，他的朋友对他说：“公尽忠一世，以报所事，今至此，纵得不死，亦何以哉？”于是张珏解下弓弦在厕所中自缢，自尽殉国。

二、静江（广西桂林）临安投降后，忽必烈命大将阿里海牙增兵3万，进军广西。静江府守将马墍，马堃之弟，原知邕州，因抚御边陲有功，以左武卫将军征入朝，时宋室投降，滞留静江，总领屯戍诸军，掌广右经略司。阿里海牙初定湖南，曾派总管俞全前往静江招降，为其所杀。宋室降元，又遣湘山僧宋勉持太皇太后谢道清手诏谕降，又为其所杀。

严关，可见道路狭窄，两侧都是山崖，易守难攻

九月，平章政事阿里海牙率军南进，前锋至严关(今广西兴安西南)。马墍深知严关为湘桂走廊的咽喉，严关失守，静江不保。遂立即组织所部及诸峒少数民族兵丁据守静江，自率3000兵守严关。阿里海牙见严关两山壁立，中为通道，难以骤克，乃以偏师迂回至平乐，溯漓江而上，过临桂北进，与主力前后夹击严关，马墍兵败，只得退保静江孤城。

静江城，三面临江，只有北门有道路，所以宋军能坚守三个月之久

元军取严关后，又于小溶江（严关西南）击败都统马应麒。阿里海牙遂率军围静江，遣人劝降，马墍再次斩使焚书，以示拒降。阿里海牙怒而攻之。静江依水为固，马墍守城三个月，衣不解甲，前后百余战，力挫元军，城中死伤甚众，仍无降意。

十一月，元军久攻不克，乃筑大堰，断大阳、小溶二江上流，别引一渠决其东坝，将护城河水引走。随后遣主力佯攻西门，以精兵攻其东门。部将史格以战车攻城，因炮石蔽地无法靠近，乃伺隙率众攀碟，蚁附而上，攻破外城，安抚李梦龙降元，马墍率兵退守内城。元军以优势兵力又破内城。百姓纵火焚居室，多赴水死。马墍率死士进行巷战，后因手臂为刀所伤，战不力，被俘。总制黄文政（一作贺文振）、总管张虎欲率残兵突围，兵败被俘，邕守马成旺及子马应鳞降。

马墍部将娄钤辖（钤辖为官名，其具体姓名已不详）以250人坚守月城继续抵抗。月城修在南门外四面环水的小岛上，易守难攻，阿里海牙派兵围十余日，娄钤辖佯称饥饿不能出降，如送食物，即可听命。元军信以为真，送牛、米入内，月城将士饱食之后，聚围火炮引燃，与月城同归于尽，堪称南宋抗元史上极为壮烈的一幕。

静江破后，被俘的马墍、黄文政、张虎因拒不投降，皆被杀害，阿里海牙下令屠城泄愤。

三、扬州

临安投降后，江浙州县纷纷投降，唯淮东制置使李庭芝、副都统姜才扼守扬州，坚持抗元。军持太皇太后谢道清手谕招降，被李庭芝严词拒绝，姜才发弩射使者，将其击退。

1276年闰三月，元军押送宋帝及太后北行至瓜洲，李庭芝、姜才率兵4万夜捣瓜洲，欲夺两宫，激战三时，元军拥帝避去。

李庭芝、姜才石像

阿术进攻扬州久攻不下，于是筑工事长期围困扬州。冬天，城中食物吃尽，死的人满街都是。第二年二月，饥荒更加厉害，赴濠水自杀的人每天几百，路上有死人，众人都争相割他的肉吃，一会儿就完了。姜才曾多次攻湾头堡及丁村堡，接应粮运，均被元军击退。淮安州许文德、知盱眙军张思聪、知泗州刘兴祖都因为粮食耗尽而降。李庭芝搜括民间的粮粟以供应军队，粟吃完后，又令官人出粟，粟又被吃尽，又令将校出粟，杂以牛皮、麸蛐一起吃，士兵有煮自己的儿子的肉来吃的，还每天出来苦战。

七月，在福州建立流亡政权的宋帝赵昰，遣使以少保、左丞相召李庭芝，以龙神四厢都指挥使、保康军承宣使召姜才入卫。李庭芝乃留朱焕守扬州，与姜才共率7000兵东至泰州(今属江苏)，欲取道通州泛海南下。不料朱焕以扬州降元，阿术率军追至泰州将其包围，并押着李庭芝将士的妻子儿女到泰州城下招降。适姜才因病不能作战，裨将孙贵、胡惟孝等开城门投降。李庭芝、姜才被俘，押回扬州，不降被杀。