为了通俗地理解量子力学，我们必须借助于比喻，即用我们熟悉的现象来类比量子现象，并在此基础上建立能描述量子现象的数学结构和理论体系。

假想在黑箱里有一堆小物件，我们应如何对其分类？比如颜色是一个分类的标准，形状是另一个分类的标准，颜色和形状是完全不相干的独立的描述物件性质的两个标准。

我们说一个小物件是白色的；或是黑色的；白色和黑色是两种互相排斥的陈述，只要是白色的就不能是黑色的，相反只要是黑色的就不能是白色的。

我们也说一个小物件是个立方体，或说它是个球体。球体和立方体也是互相排斥的，我们没法说它既是球体又是立方体。

假设在我们的世界里，这个小物件不是立方体就是球体，但不能既是立方体又是球体。类似的我们说在我们的世界里，这个小物体不是白色的就是黑色的，但不能既是白色的又是黑色的。

形状是我们对物件的陈述，颜色也是我们对物件的陈述。现在我们的问题是：我们能够同时使用颜色和形状来陈述一个物件吗？

在经典物理里，或在我们的日常经验中，当然可以！香蕉是黄色的，同时它也是弯曲的“棒棒形”，形状和颜色是我们一眼看去可以直观的。

但在量子世界里，这种陈述是被禁止的！看清楚了物件的颜色，它就完全没有形状；同样看清楚了物件的形状，那它就没有颜色。

当然这是个比喻，我们可以用我们熟悉的物理量替换一下。在经典物理或日常经验中，我们可以说粒子的位置是多少，同时说粒子的动量是多少，但在量子世界中，如果我们知道了粒子的位置，我们就没法说粒子的动量了，相反如果我们知道了粒子的动量就没法说粒子的位置。这和测量无关，在量子世界中这种陈述本来就不存在。

在建立量子理论的过程中我们一般从粒子的自旋入手。当我们知道了自旋的x分量，我们就没法说自旋的z分量，相反当我们知道了自旋的z分量，我们就没法说自旋的x分量。

我们应如何描述量子世界的这种行为呢？并进而建立起描述量子世界的理论。我们还是借助于比喻，只是现在经典的“颜色-形状”比喻失效了，我们需要找个新比喻。

物理学家想到了光。光是一种波动，是一种横波。光有x偏振光、y偏振光，这两个偏振态对应自旋在z方向上的向上和向下。把光偏振的方向转45°，会有x’偏振光和y’偏振光，可用来表示自旋在x方向上的向上和向下。此外还有圆偏振光（左旋和右旋），对应自旋在y方向上的向上和向下。

有了光学比喻，我们就可以把自旋的量子态表示为一个二维复系数向量空间上的一个箭头。这就是自旋的量子理论了。泛泛而言，在量子力学中，物理系统的状态用态矢量表示，态矢量随时间的演化满足薛定谔方程。物理量用算符表示，通过算符我们可以从态矢量中抽取出物理量取值的信息。

更多细节请大家阅读J. J. Sakurai的《现代量子力学》。